QR açılımı, bir matrisi daha kolay işlenebilir bir forma dönüştürmek için kullanılan bir matris ayrıştırma yöntemidir. Özellikle lineer cebir ve sayısal analizde yaygın olarak kullanılır. QR açılımı, bir matrisi bir dik (ortogonal) matris (Q) ve bir üst üçgensel matris (R) şeklinde ifade eder.
Temel Kavramlar:
Dik (Ortogonal) Matris (Q): <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/dik%20matris">Q</a>, sütunları ortogonal (birbirine dik) ve birim uzunlukta olan bir matristir. Bu, Q'nun transpozesi ile çarpımının birim matrisi (I) vermesi anlamına gelir: Q^T * Q = I.
Üst Üçgensel Matris (R): <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/üst%20üçgensel%20matris">R</a>, ana köşegeninin altındaki tüm elemanları sıfır olan bir matristir.
QR Açılımının Yapılışı:
QR açılımı için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. En yaygın kullanılanlar şunlardır:
Gram-Schmidt Ortogonalizasyonu: Bu yöntem, matrisin sütunlarını sırayla ortogonal hale getirerek Q matrisini oluşturur. R matrisi ise bu ortogonalleştirme sürecinde kullanılan katsayıları içerir.
Householder Dönüşümleri: Householder dönüşümleri, matrisi sütun sütun üst üçgensel forma getiren yansımalardır. Bu dönüşümlerle Q matrisi, Householder matrislerinin çarpımı olarak elde edilir.
Givens Döndürmeleri (Rotasyonları): Givens döndürmeleri, belirli elemanları sıfıra indirmek için kullanılan rotasyonlardır. Bu döndürmelerle R matrisi oluşturulurken, Q matrisi de Givens matrislerinin çarpımı olarak elde edilir.
QR Açılımının Kullanım Alanları:
Ax = b şeklindeki bir sistemde, A = QR ise, QRx = b denklemi çözülerek Rx = Q^T b elde edilir ve bu sistem üst üçgensel olduğu için kolayca çözülebilir.Ne Demek sitesindeki bilgiler kullanıcılar vasıtasıyla veya otomatik oluşturulmuştur. Buradaki bilgilerin doğru olduğu garanti edilmez. Düzeltilmesi gereken bilgi olduğunu düşünüyorsanız bizimle iletişime geçiniz. Her türlü görüş, destek ve önerileriniz için iletisim@nedemek.page